| Resumo da
Iniciação Científica: |
| Baseados em parte no livro "An introduction to chaotic dynamical systems" de R. Devaney, este Projeto de IC propõe um estudo da família de funções quadráticas no intervalo [0, 1], dadas por F_a(x) = a x (1 - x).
Como em todo ramo da Matemática, parte importante da motivação para o estudo deste tema é intrínseca e estética: Apesar de, a priori, a referida família quadrática constituir um exemplo de dinâmica descrito por uma regra relativamente "simples", ela tem propriedades profundas e surpreendentes. Por exemplo, se 1 < a < 3, a quadrática F_a possui um um ponto fixo atrator, mas para certos valores do parâmetro "a" maiores do que 3, o ponto fixo atrator sofre sucessivas bifurcações, de modo que a quadrática passa a ter órbitas periódicas atratoras de período 2^n (por exemplo, n = 1 para a = 3.2; n = 2 para a = 3.5; n = 4 para a = 3.55, et cetera). Além disso, para alguns no Diagrama de Bifurcação de Fredholm do ponto fixo atrator de F_a aparecem algumas "janelas", por exemplo. quando a = 3.83. Neste caso a quadrática F_a possui orbita periódica de período 3 e, via o Teorema de Sarkovski, que também será estudado neste trabalho, conclui-se que F_a possui órbitas periódicas de todos os períodos. Outro fenômeno que ocorre na supracitada família quadrática é quando a > 4. Neste caso, o conjuntos dos pontos em [0, 1] cuja órbita permanece no intervalo [0, 1] constituí um conjunto de Cantor.
Deste modo, o assunto proposto conduz a demonstração de "belíssimos" teoremas. De fato, o estudo pelas propriedades dinâmicas da família quadrática despertou o interesse de grandes matemáticos como John W. Milnor, ganhador da medalha Fields em 1962.
Outra razão é que muitos fenômenos importantes na Natureza e nas ciências experimentais são modelados por sistemas dinâmicos. A família quadrática surge como modelo para o estudo da dinâmica de população constituída por uma espécie animal. Neste sentido, ela é introdutória para o estudo de dinâmicas mais complexas, como o sistema de Hénon, equivalente bidimensional da família quadrática e modelo simplificado no estudo de colisões de galáxias, e a versão discreta do sistema predador-presa, que é modelo para a dinâmica de populações de duas espécies animais. |
|